三平方の定理とは｜a²+b²=c²の意味・斜辺の求め方・有名な整数比をやさしく解説

「直角三角形の斜辺の長さを求めなさい」という問題を、中学校で解いた記憶はないでしょうか。そのときに使ったのが三平方の定理（ピタゴラスの定理）です。a²+b²=c²というシンプルな式ですが、図形の世界だけでなく、地図上の距離やテレビ画面のサイズ表記、建築の直角出しまで、現実のあらゆる場面で使われています。本記事では、三平方の定理とは何か、式が何を意味し、どう使うのかを順を追って解説します。

三平方の定理とは何か

三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは、直角三角形において、斜辺の長さの2乗が、残り2辺それぞれの長さの2乗の和に等しいという関係を表す定理です。古代ギリシャの数学者ピタゴラスにちなんで名付けられましたが、実際にはそれ以前のバビロニアや中国でも知られていたとされる、非常に歴史の長い法則です。

直角三角形とは、3つの角のうち1つが90度（直角）になっている三角形のことです。この直角をはさむ2つの辺を「直角をはさむ辺」、直角の向かい側にあるいちばん長い辺を斜辺と呼びます。三平方の定理は、この3つの辺の長さの間に常に成り立つ、揺るがない関係を示しています。

言葉だけでは分かりにくいので、実際に辺の長さを入れて計算を試してみるのが理解の近道です。三平方の定理計算ツールに2辺の長さを入力すれば、残りの1辺がすぐに求められます。

a²+b²=c²が表す意味

三平方の定理は、直角をはさむ2辺の長さを a、b、斜辺の長さを c とすると、次の式で表されます。

a² + b² = c²

ここで大切なのは、これが「辺の長さそのもの」ではなく「辺の長さの2乗」の関係だという点です。2乗は、その辺を1辺とする正方形の面積に対応します。つまりこの定理は、「直角をはさむ2辺の上に作った正方形の面積を足すと、斜辺の上に作った正方形の面積に等しくなる」という、面積どうしの関係としても読み取れます。

たとえば a=3、b=4 の直角三角形を考えると、3²+4²=9+16=25 となり、これが c² に等しくなります。c は25の平方根なので c=5 です。直角をはさむ2辺が分かれば、斜辺は必ず1つに定まります。逆に、斜辺と片方の辺が分かっていれば、引き算と平方根を使って残りの辺も求められます。

• 左辺（a²+b²）：直角をはさむ2辺の2乗の和
• 右辺（c²）：斜辺の2乗
• この等式は、角がちょうど90度のときだけ成り立ちます

斜辺と残りの辺の求め方

三平方の定理を使えば、直角三角形の2辺が分かれば残りの1辺を計算できます。求めたい辺が斜辺かどうかで、式の使い方が少しだけ変わります。

1. 斜辺 c を求める

直角をはさむ2辺 a、b が分かっている場合、c² = a² + b² なので、両辺の平方根をとって次のように求めます。

c = √(a² + b²)

たとえば a=6、b=8 なら、c=√(36+64)=√100=10 となります。

2. 直角をはさむ辺を求める

斜辺 c と片方の辺 a が分かっている場合は、式を移項して b² = c² − a² とし、次のように求めます。

b = √(c² − a²)

たとえば c=13、a=5 なら、b=√(169−25)=√144=12 です。平方根の計算は手では大変なことも多いので、三平方の定理計算ツールに数値を入れて検算すると安心です。なお、辺の長さは必ず正の数になるため、平方根のうちマイナスの解は使いません。

有名な整数比（3:4:5など）

三平方の定理を満たす辺の長さがすべて整数になる組み合わせを、ピタゴラス数（ピタゴラスの三つ組）と呼びます。計算がきれいに割り切れるため、教科書や実務で繰り返し登場します。代表的なものを覚えておくと、暗算や直角の確認がぐっと楽になります。

とくに3:4:5はもっとも有名で、建築や日曜大工の現場で「直角を正確に出す」ために実際に使われています。3辺の長さの比が3:4:5になるように木材やひもを測れば、計算なしで正確な直角が作れるのです。これらの比は何倍しても成り立つので、6:8:10や9:12:15なども同じく直角三角形になります。

なお、辺の比がこれらの整数比に「近い」だけでは直角にはなりません。a²+b²=c²がぴったり成り立つかどうかは、三平方の定理計算ツールで実際の数値を入れて確かめるのが確実です。

実用例：距離や対角線の計算

三平方の定理は、学校の図形問題にとどまらず、「直角が関わる長さ」を求めるあらゆる場面で活躍します。代表的な例を見てみましょう。

1. 平面上の2点間の距離

地図やグラフの上で、点A（x1, y1）と点B（x2, y2）の直線距離を求めたいとき、横方向の差と縦方向の差を直角をはさむ2辺と考えれば、距離は √((x2−x1)² + (y2−y1)²) で計算できます。これはまさに三平方の定理そのもので、2点間の距離の公式の正体です。

2. 長方形の対角線・画面サイズ

長方形のテレビやスマホの画面は、横と縦の長さが分かれば対角線の長さを三平方の定理で求められます。「○○インチ」という画面サイズは、この対角線の長さを表しています。横と縦が直角をはさむ2辺、対角線が斜辺にあたります。長方形の面積とあわせて図形の寸法を扱いたいときは、面積計算ツールも役立ちます。

3. 高さや斜面の長さ

はしごを壁に立てかけたときの高さ、斜面の長さ、立体の対角線なども、直角三角形に分解すれば三平方の定理で求められます。面積や辺の長さをまとめて確認したい図形の問題では、面積計算ツールと組み合わせて使うと効率的です。

証明の考え方

三平方の定理には100通り以上の証明が知られていますが、もっとも直感的なのは面積を使った証明です。考え方の流れだけをやさしく紹介します。

大きな正方形の中に、同じ直角三角形を4つ、向きを変えて並べると、中央に小さな正方形ができる図を描けます。このとき、大きな正方形の面積を「1辺×1辺」で計算する方法と、「4つの三角形の面積＋中央の正方形の面積」で計算する方法の、2通りで表します。同じ図形の面積なので、この2つは等しくなります。

この等式を整理していくと、余分な項が打ち消し合い、最後に a² + b² = c² という形だけが残ります。つまり、「同じ面積を2通りの方法で表して比べる」という発想が、証明の核心です。図を描いて面積を書き出してみると、なぜこの定理が成り立つのかが目で見て納得できます。

三平方の定理は、直角三角形の3辺を結ぶ最も基本的な関係であり、距離や対角線の計算、直角の確認など、現実の問題を解く強力な道具になります。まずは三平方の定理計算ツールに身近な数値を入れて、斜辺がどう決まるのかを体感してみてください。図形全体の寸法を扱うときは面積計算ツールとあわせて使うと理解が深まります。

なお本記事は一般的な情報の提供を目的としたものです。実際の設計・測量・学習などで正確な値が必要な場合は、最新の公式情報や教科書、必要に応じて専門家の情報も確認したうえでご利用ください。